已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且PF1?PF2的取值范围是[-43，43]．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且

PF1

?

PF2

的取值范围是[-

4

3

，

4

3

]．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足(

CP

|

CP

|

+

CQ

|

CQ

|

)?

F1F2

=0，求证：向量

PQ

与

AB

共线．

试题来源：上海模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
其中c=

a2-b2

，则

PF1

=(-c，0)-(x0，y0)=(-x0-c，-y0)，

PF2

=(c，0)-(x0，y0)=(c-x 0，-y0)．
从而

PF1

?

PF2

=(-x0-c，-y0)?(c-x0，-y0)=

x

20

-c2+

y

20

=

x

20

+

y

20

-c2．
由于b2≤

x

20

+

y

20

≤a2，所以 b2-c2≤

PF1

?

PF2

≤a2-c2，
即2b2-a2≤

PF1

?

PF2

≤b2．
又已知-

4

3

≤

PF1

?

PF2

≤

4

3

，
所以

2b2-a2=-

4

3

b2=

4

3

?

a2=4

b2=

4

3

.

从而椭圆的方程是

x2

4

+

3y2

4

=1．

（Ⅱ）因为(

CP

|

CP

|

+

CQ

|

CQ

|

)?

F1F2

=0，而

CP

|

CP

|

+

CQ

|

CQ

|

与∠PCQ的平分线平行，
所以∠PCQ的平分线垂直于x轴．
由

x2

4

+

3y2

4

=1

y=x

解得

x=1

y=1

∴C(1，1)．
不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，
因此PC和QC的方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1），
其中k≠0，由

y=k(x-1)+1

x2

4

+

3y2

4

=1.

消去y并整理得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0（*）．
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根．
从而xP=

3k2-6k-1

1+3k2

，同理xQ=

3k2+6k-1

1+3k2

，
从而直线PQ的斜率为kPQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k

2(3k2-1)

1+3k2

-2k

-12k

1+3k2

=

1

3

．
又知A（2，0），B（-1，-1），
所以kAB=

-1-0

-1-2

=

1

3

∴kPQ=kAB，
∴向量

PQ

与

AB

共线．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点，P..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：