已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，且经过点M（-2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，连接MA，MB并延长交直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，且经过点M（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

，且经过点M（-2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设斜率为1的直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

．求△ABM的面积．

试题来源：丰台区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

，且经过点M（-2，0）．
∴a=2，

c

a

=

2

，∴c=

2

． …（2分）
∵a²=b²+c²，∴b=

2

． …（3分）
椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1． …（5分）
（Ⅱ）因为直线l的斜率为1，可设l：y=x+m，…（6分）
则

x2+2y2=4

y=x+m

，消y得3x²+4mx+2m²-4=0，…（7分）
由△＞0，得m²＜6．
因为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-4

3

． …（8分）
设直线MA：y=

y1

x1+2

(x+2)，则yP=

6y1

x1+2

；同理yQ=

6y2

x2+2

．…（9分）
因为

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，所以

6

6y1

+

6

6y2

=

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

，即

x1-4

6y1

+

x2-4

6y2

=0． …（10分）
所以（x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以（x₁-4）（x₂+m）+（x₂-4）（x₁+m）=0，
所以2x₁x₂+m（x₁+x₂）-4（x₁+x₂）-8m=0，
所以2?

2m2-4

3

+m(-

4m

3

)-4(-

4m

3

)-8m=0，
所以

-8-8m

3

=0，所以 m=-1∈(-

6

，

6

)． …（12分）
所以 x1+x2=

4

3

，x1x2=-

2

3

．
设△ABM的面积为S，直线l与x轴交点记为N，
所以S=

1

2

?|MN|?|y1-y2|=

3

2

?|x1-x2|=

3

2

?

(x1+x2)2-4x1x2

=

10

．…（13分）
所以△ABM的面积为

10

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，且经过点M（..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：