已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

试题来源：天津一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵2a=2?2b，∴a=2b．
设椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
椭圆E过点C（2，1），
代入椭圆方程得

22

4b2

+

1

b2

=1，解得b=

2

，则a=2

2

，
所以所求椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）依题意得D（-2，-1）在椭圆E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
设P（x，y），则kCP=

y-1

x-2

，kDP=

y+1

x+2

，
kCP?kDP=

y-1

x-2

?

y+1

x+2

=

y2-1

x2-4

①
又∵点P在椭圆E上，
∴

x2

8

+

y2

2

=1，∴x²=8-4y²，代入①得，
kCP?kDP=

y2-1

x2-4

=

y2-1

8-4y2-4

=-

1

4

．
所以CP和DP的斜率K_CP和K_DP之积为定值-

1

4

（Ⅲ）CD的斜率为

1

2

，∵CD平行于直线l，∴设直线l的方程为y=

1

2

x+t．
由

y=

1

2

x+t

x2

8

+

y2

2

=1

，
消去y，整理得x²+2tx+（2t²-4）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

△=4t2-4(2t2-4)=4(4-t2)＞0

x1+x2=-2t

x1?x2=2t2-4

，得|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+(

1

2

)2

?

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

4

?

4t2-4(2t2-4)

=

5

?

4-t2

(-2＜t＜2)．
d=

|t|

1+

1

4

=

2|t|

5

．
所以，S=

1

2

|MN|?d=

1

2

5

4-t2

?

2|t|

5

=|t|?

4-t2

=

t2(4-t2)

≤

4

2

=2
当且仅当t²=4-t²时取等号，即t²=2时取等号
所以△MNC面积的最大值为2．
此时直线l的方程y=

1

2

x±

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：