设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆（x+1）2+(y-3)2=16相交-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．点P（a，b）满足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e；
（Ⅱ）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，若直线PF₂与圆（x+1）²+(y-

3

)2=16相交于M，N两点，且|MN|=

5

8

|AB|，求椭圆的方程．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．
由题得|PF₂|=|F₁F₂|，即

(a-c)2+b2

=2c，整理得2(

c

a

)2+

c

a

-1=0，得

c

a

=-1（舍），或

c

a

=

1

2

，
所以e=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=

3

c，可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²，直线方程PF₂为y=

3

（x-c）．
A，B的坐标满足方程组

3x2+4y2=12c2

y=

3

(x-c)

，
消y并整理得5x²-8xc=0，
解得x=0，x=

8

5

c，得方程组的解为

x=0

y=-

3

c，

x=

8

5

c

y=

3

5

c

，
不妨设A（

8

5

c，

3

5

c），B（0，-

3

c）．
所以|AB|=

(

8

5

)2+(

3

c

5

+

3

c) 2

=

16

5

c，于是|MN|=

5

8

|AB|=2c．
圆心（-1，

3

）到直线PF₂的距离d=

|-

3

-

3

-

3

c|

2

，
因为d²+(

|MN|

2

)2=4²，所以

3

4

（2+c）²+c²=16，整理得c=-

26

7

（舍）或c=2．
所以椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点P..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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