已知椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A1、A2分别是椭圆的上、下两个顶点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设以原点为顶点，A1点的抛物线为C，若过点F1的直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1）、直线y=4是它的一条准线，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的两个焦点F₁（0，1）、F₂（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A₁、A₂分别是椭圆的上、下两个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，A₁点的抛物线为C，若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N，求线段MN的中点Q的轨迹方程．

试题来源：成都模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，a＞b＞0，
由题意，得c=1，

a2

c

=4，
∴a²=4，b²=4-1=3，
∴所求椭圆方程

x2

4

+

x2

3

=1；　　…（5分）
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x²=2py，p＞0．
由

p

2

=2，得p=4．
∴抛物线C的方程为x²=8y，
设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1

x2=8y

，得x²=8kx+8，
即x²-8kx-8=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．
∴x=

x1+x2

2

=

8k

2

=4k，
代入直线l的方程，得y=k?4k+1=4k²+1，
由

x=4k

y=4k2+1

，消去k，得y=

x2

4

+1，
即x²=4（y-1），
∴点Q的轨迹方程是x²=4（y-1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的两个焦点F1（0，1）、F2（0，1）、直线y=4是它的一条准线，..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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