已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之和为4，直线x+4=0为该椭圆的一条准线．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，且OA?OB＞0（其-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之和为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之和为4，直线x+4=0为该椭圆的一条准线．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，且

OA

?

OB

＞0（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

试题来源：成都模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆C的半焦距为c，
由题意得

2a=4

a2

c

=4

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+2

x2

4

+

y2

3

=1

，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，解得k2＞

1

4

，①
且有x1+x2=-

16k

4k2+3

，x1x2=

4

4k2+3

，
∴

OA

?

OB

=(x1，y1)?(x2，y2)=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

-12k2+16

4k2+3

＞0，
解得k2＜

3

4

，②
由①②得，

1

4

＜k2＜

4

3

，
解得-

2

3

＜k＜-

1

2

，或

1

2

＜k＜

2

3

，
∴斜率k的取值范围是(-

2

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上任意一点到两焦点距离之和为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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