已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l过P(-12，12)且与椭圆相交于A，B两点，当P是-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过P(-

1

2

，

1

2

)且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）由已知可得

b=c

2b=2

a2=b2+c2

?

a2=2

b2=1

c2=1

．
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+

1

2

)+

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x

21

2

+

y

21

=1，

x

22

2

+

y

22

=1，两式相减得：

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

?

x1+x2

y1+y2

．
∵P是AB的中点，∴

x1+x2

2

=-

1

2

，

y1+y2

2

=

1

2

，
代入上式可得直线AB的斜率为k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
∴直线l的方程为2x-4y+3=0．
当直线l的斜率不存在时，将x=-

1

2

代入椭圆方程并解得A(-

1

2

，

14

4

)，B(-

1

2

，-

14

4

)，
这时AB的中点为(-

1

2

，0)，∴x=-

1

2

不符合题设要求．
综上，直线l的方程为2x-4y+3=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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