已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F（2，0），且两条准线间的距离为λ（λ＞4）．（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F（2，0），且两条准线间的距离为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F（2，0），且两条准线间的距离为λ（λ＞4）．
（I）求椭圆的方程；
（II）若存在过点A（1，0）的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求λ的取值范围．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0).
由条件知c=2，且

2a2

c

=λ，所以a²=λ，b²=a²-c²=λ-4．
故椭圆的方程是

x2

λ

+

y2

λ-4

=1(λ＞4).
（II）依题意，直线l的斜率存在且不为0，记为k，则直线l的方程是y=k（x-1）．
设点F（2，0）关于直线l的对称点为F'（x₀，y₀），
则

y0

2

=k(

x0+2

2

-1)

y0

x0-2

?k=-1

解得

x0=

2

1+k2

y0=

2k

1+k2

因为点F'（x₀，y₀）在椭圆上，所以

(

2

1+k2

)2

λ

+

(

2k

1+k2

)2

λ-4

=1.
即λ（λ-4）k⁴+2λ（λ-6）k²+（λ-4）²=0．
设k²=t，则λ（λ-4）t²+2λ（λ-6）t+（λ-4）²=0．
因为λ＞4，所以

(λ-4)2

λ(λ-4)

＞0.
当且仅当

△=[2λ(λ-6)]2-4λ(λ-4)3

-

2λ(λ-6)

λ(λ-4)

＞0.

(*)
上述方程存在正实根，即直线l存在．
解（*）得

λ≤

16

3

4＜λ＜6.

所以4＜λ≤

16

3

.
即λ的取值范围是4＜λ≤

16

3

.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F（2，0），且两条准线间的距离为..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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