已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点A(2，1)．直线y=22x+m交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点A(2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

，且过点A(

2

， 1)．直线y=

2

x+m交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

试题来源：房山区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得

c

a

=

2

a2

+

1

b2

+1

a2=b2+c2

，解得

a2=4

b2=c2=2

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
由

y=

2

x+m

x2

4

+

y2

2

=1

消去y得到x2+

2

mx+m2-2=0，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=8-2m²＞0，解得-2＜m＜2．
∴x1+x2=-

2

m，x1x2=m2-2．
∴|BD|=

[1+(

2

)2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

3

2

[2m2-4(m2-2)]

=

3(4-m2)

．
点A到直线BD的距离d=

|2-2+2m|

6

=

|2m|

6

．
∴S△ABD=

1

2

|BD|d=

1

2

×

3(4-m2)

×

|2m|

6

=

2

m2(4-m2)

≤

2

×

m2+(4-m2)

2

=

2

．
当且仅当m=±

2

∈（-2，2）时取等号．
∴当m=±

2

时，△ABD的面积取得最大值

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为22，且过点A(2..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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