繁体字转换器繁体字网旗下考试题库之数学试题栏目欢迎您!
1、试题题目:已知椭圆的右顶点为A,离心率e=12,过左焦点F(-1,0)作直线l与椭..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的右顶点为A,离心率e=
1
2
,过左焦点F(-1,0)作直线l与椭圆交于点P,Q,直线AP,AQ分别与直线x=-4交于点M,N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明以线段MN为直径的圆经过焦点F.

  试题来源:东城区模拟   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:椭圆的标准方程及图象



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(Ⅰ)由已知 c=1,
c
a
=
1
2

∴a=2,b=
3

∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1.--------------(5分)
证明:(Ⅱ) 设直线l方程为 y=k(x+1),
由  
y=k(x+1)
x2
4
+
y2
3
=1
得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-
8k2
3+4k2
x1x2=
4k2-12
3+4k2
.-----(7分)
设M(-4,yM),N(-4,yN),则由A,P,M共线,得
yM-y1
-4-x1
=
y1
x1-2
,有 yM=-
6y1
x1-2
.同理 yN=-
6y2
x2-2

∴yMyN=
36y1y2
(x1-2)(x2-2)
=
36k2[x1x2+(x1+x2)+1]
x1x2-2(x1+x2)+4
.------(9分)
FM
?
FN
=(-3,yM)?(-3,yN)=9+yMyN
=9+
36k2[x1x2+(x1+x2)+1]
x1x2-2(x1+x2)+4
=9+
36k2[
4k2-12
3+4k2
-
8k2
3+4k2
+1]
4k2-12
3+4k2
+2
8k2
3+4k2
+4
=9-
9×36k2
36k2
=0.

FM
FN
,即FM⊥FN,以线段MN为直径的圆经过点F;----(12分)

当直线l的斜率不存在时,不妨设M(-4,3),N(-4,-3).则有
FM
?
FN
=(-3,3)?(-3,-3
)=9-9=0,
FM
FN
,即FM⊥FN,以线段MN为直径的圆经过点F.
综上所述,以线段MN为直径的圆经过定点F.-----------(14分)
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知椭圆的右顶点为A,离心率e=12,过左焦点F(-1,0)作直线l与椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中椭圆的标准方程及图象”。


4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:

数学试题大全 2016-02-07更新的数学试题 网站地图 | 繁体字网 -- 为探究古典文化架桥,为弘扬中华文明助力!
版权所有: CopyRight © 2010-2014 www.fantiz5.com All Rights Reserved.
联系我们: