给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为3．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”-数学试题及答案

1、试题题目：给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为a2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(

2

，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点．求证：l₁⊥l₂．

试题来源：辽宁一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为c=

2

，a=

3

，所以b=1
所以椭圆的方程为

x2

3

+y2=1，
准圆的方程为x²+y²=4．
（2）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=

3

或x=-

3

，
当l₁方程为x=

3

时，此时l₁与准圆交于点(

3

，1)(

3

，-1)，
此时经过点(

3

，1)（或

3

，-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），
即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证l₁方程为x=-

3

时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
设经过点P（x₀，y₀），与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
则

y=tx+(y0-tx0)

x2

3

+y2=1

，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4?（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，因为x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以t₁，t₂满足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁?t₂=-1，即l₁，l₂垂直．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为a2..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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