已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点A(0，2)且它的离心率为33．（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点A(0，2)且它的离心..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)过点A(0，

2

)且它的离心率为

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）已知动直线l过点Q（4，0），交轨迹C₂于R、S两点．是否存在垂直于x轴的直线m被以RQ为直径的圆O₁所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由．

试题来源：茂名一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A(0，

2

)，所以b=

2

，b²=2，
又因为椭圆C₁的离心率e=

3

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，解得a²=3．
所以椭圆C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）因为线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，
所以|MP|=|MF₂|，即动点M到定直线l₁：x=-1的距离等于它到定点F₂（1，0）的距离，
所以动点M的轨迹C₂是以l₁为准线，F₂为焦点的抛物线，
所以点M的轨迹C₂的方程为y²=4x；
（3）设R（x₁，y₁），假设存在直线m：x=t满足题意，则圆心O1(

x1+4

2

，

y1

2

)，
过O₁作直线x=t的垂线，垂足为E，设直线m与圆O₁的一个交点为G．
可得：|EG|2=|O1G|2-|O1E|2=|O1Q|2-|O1E|2，
即|EG|2=|O1Q|2-|O1E|2=

(x1-4)2+

y

21

4

-(

x1+4

2

-t)2
=

1

4

y

21

+

(x1-4)2-(x1+4)2

4

+t(x1+4)-t2
=x1-4x1+t(x1+4)-t2=(t-3)x1+4t-t2，
当t=3时，|EG|²=3，此时直线m被以RQ为直径的圆O₁所截得的弦长恒为定值2

3

．
因此存在直线m：x=3满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)过点A(0，2)且它的离心..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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