已知F1（-1，0）、F2（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-7=0与椭圆相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积S的最大值，并求此时直线的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1（-1，0）、F2（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-7=0与椭圆相切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-

7

=0与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求此时直线的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
由x+y-

7

=0得y=

7

-x，代入

x2

a2

+

y2

a2-1

=1消去y并整理得，（(2a2-1)x2-2

7

a2x+8a2-a4=0，
由△=28a⁴-4（2a²-1）（8a²-a⁴）=8a²（a⁴-5a²+4）=0，解得a²=1或a²=4，
因为a²＞1，所以a²=4，
所以椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设过F₁的直线：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
所以|y1-y2|=

36m2+36(3m2+4)

3m2+4

=

12

m2+1

3m2+4

，
S△ABF2=

1

2

×2c|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=

12

m2+1

3m2+4

=

12

3

m2+1

+

1

m2+1

，
令t=

m2+1

，则t≥1，S△ABF2=

12

3t+

1

t

，
又(3t+

1

t

)′=3-

1

t2

＞0，所以3t+

1

t

递增，(3t+

1

t

)min=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，
所以S△ABF2≤

12

4

=3，
当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1（-1，0）、F2（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-7=0与椭圆相切..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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