已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为12，F1、F2分别为其左右焦点．一动圆过点F2，且与直线x=-1相切．（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C1的方程；（ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；（Ⅱ）在-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为12..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为

1

2

，F₁、F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C₁的方程；（ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C₁上有两点P、Q，满足MF₂与

NF2

共线，

PF2

与

QF2

共线，且

PF2

?

MF2

=0，求四边形PMQN面积的最小值．

试题来源：三门峡模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：

2a=4

e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2，c=1，b=

4-1

=

3

，
∴所求的椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，
且抛物线C的焦点为（1，0），
准线方程为x=1，则动圆圆心轨迹方程为C：y²=4x．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而SPMQN=

1

2

|MN|?|PQ|=

1

2

×4×4=8，
设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=

1

k

(x-1)，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
由

y=k(x-1)

y2=4x

，消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由抛物线定义可知：
|MN|=|MF₂|+|NF₂|=x₁+1+x₂+1
=

2k2+4

k2

+2=4+

4

k2

，
由

y=

1

k

(x-1)

x2

4

+

y2

3

=1

，消去y得（3k²+4）x²-8x+4-12k²=0，
从而|PQ|=

1+(-

1

k

)2

|x3-x4|=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴S_PMQN=

1

2

|MN|?|PQ|=

1

2

|MN|?|PQ|
=

1

2

(4+

4

k2

)?

12(1+k2)

3k2+4

=24?

(1+k2)2

3k4+4k2

，
令1+k²=t，∵k²＞0，则t＞1，
则S_PMQN=

24t2

3(t-1)2+4(t-1)

=

24t2

3t2-2t-1

=

24

3-

2

t

-

1

t2

．
因为3-

2

t

-

1

t2

=4-（1+

1

t

）²∈（0，3），
所以S_PMQN=

24

3-

2

t

-

1

t2

＞8，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为12..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：