已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且AP-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，椭圆C上的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且

AP

=3

PB

，求实数m的取值范围．

试题来源：东城区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)
由题意：

c

a

=

1

2

a+c=3

a2=b2+c2

?

a=2

b=

3

c=1

所求椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）若过点P（0，m）的斜率不存在，则m=±

3

2

．
若过点P（0，m）的直线斜率为k，
即：m≠±

3

2

时，
直线AB的方程为y-m=kx
由

y=kx+m

3x2+4y2=12

?(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
因为AB和椭圆C交于不同两点，
所以△＞0，4k²-m²+3＞0，
所以4k²＞m²-3 ①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知

AP

=3

PB

，
则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

②

AP

=(-x1，m-y1)，

PB

=(x2，y2-m)-x₁=3x₂③
将③代入②得：-3(

4km

3+4k2

)2=

4m2-12

3+4k2

整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0
所以k2=

9-3m2

16m2-12

代入①式，
得4k2=

9-3m2

4m2-3

＞m2-3

4m2(m2-3)

4m2-3

＜0，
解得

3

4

＜m2＜3．
所以-

3

＜m＜-

3

2

或

3

2

＜m＜

3

．
综上可得，实数m的取值范围为：(-

3

，-

3

2

]∪[

3

2

，

3

)．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为12，椭圆C上的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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