设椭圆E：x2a2+y21-a2=1的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆E：x2a2+y21-a2=1的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

设椭圆E：

x2

a2

+

y2

1-a2

=1的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F₁，F₂分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₂P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵椭圆E的焦距为1，∴a2-(1-a2)=(

1

2

)2，解得a2=

5

8

．
故椭圆E的方程为

8x2

5

+

8y2

3

=1．
（2）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），其中c=

2a2-1

．
由题设可知：x₀≠c．则直线F₁P的斜率kF1P=

y0

x0+c

，直线F₂P的斜率kF2P=

y0

x0-c

．
故直线F₂P的方程为y=

y0

x0-c

(x-c)．
令x=0，解得y=

cy0

c-x0

．即点Q(0，

cy0

c-x0

)．
因此直线F₁Q的斜率kF1Q=

y0

c-x0

．
∵F₁Q⊥F₁P，∴kF1Q?kF1P=

y0

x0+c

?

y0

c-x0

=-1．
化为

y

20

=

x

20

-(2a2-1)．
联立

y

20

=

x

20

-(2a2-1)

x

20

a2

+

y

20

1-a2

=1

，及x₀＞0，y₀＞0，
解得x0=a2，y0=1-a2．
即点P在定直线x+y=1上．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆E：x2a2+y21-a2=1的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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