已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3．（1）求椭圆方程；（2）设直线l过定点Q(0，32)，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l过定点Q(0，

3

2

)，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|BM|=|BN|．求直线l的方程．

试题来源：惠州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则b=1．
设右焦点F（c，0）（c＞0），则由条件得3=

|c-0+2

2

|

2

，得c=

2

．
则a²=b²+c²=3，
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（2）若直线l斜率不存在时，直线l即为y轴，此时M，N为椭圆的上下顶点，|BN|=0，|BM|=2，不满足条件；
故可设直线l：y=kx+

3

2

(k≠0)，与椭圆

x2

3

+y2=1联立，消去y得：(1+3k2)x2+9kx+

15

4

=0．
由△=(9k)2-4(1+3k2)?

15

4

＞0，得k2＞

5

12

．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），
由韦达定理得x1+x2=-

9k

1+3k2

，而y1+y2=k(x1+x2)+3=-

9k2

1+3k2

+3．
则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

由|BN|=|BM|，则有BP⊥MN，kBP=

y0+1

x0

=

y1+y2

2

+1

x1+x2

2

=

-

9k2

1+3k2

+5

-

9k

1+3k2

=-

1

k

，
可求得k2=

2

3

，检验k2=

2

3

∈(

5

12

，+∞)，所以k=±

6

3

，
所以直线l的方程为y=

6

3

x+

3

2

或y=-

6

3

x+

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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