设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点M（2，2）在椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且OA⊥OB，求△OAB的面积的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点M（2，2）在椭圆上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点M（2，

2

）在椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且

OA

⊥

OB

，求△OAB的面积的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则b=2
将点M（2，

2

），代入椭圆方程可得

4

a2

+

2

4

=1，∴a²=8
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）当直线L斜率存在时，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
则△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0（*），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，所以m2=

8k2+8

3

①
将它代入（*）式可得k²∈[0，+∞）
∵O到L的距离为d=

|m|

1+k2

∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|?

|m|

1+k2

=

1

2

|m||x₁-x₂|=

8

3

1+

k2

4k4+4k2+1

①当k=0时，S=

8

3

；
②当AB的斜率不存在时，S=

8

3

；
③当k≠0时，S=

8

3

1+

1

4k2+

1

k2

+4

∵k²∈（0，+∞），∴4k2+

1

k2

∈[4，+∞），∴S∈(

8

3

，2

2

]
综上，S∈[

8

3

，2

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点M（2，2）在椭圆上..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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