已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点(-

1

2

，-2)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，
点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形，
∴b=2，a2=(

2

b)2=8，
所求椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1． …（5分）
（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，
依题意m≠±2．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2

8

+

y2

4

=1

y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（7分）
则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=8，
∴

kx1+m-2

x1

+

kx2+m-2

x2

=8，
即2k+（m-2）?

x1+x2

x1x2

=8．…（10分）
所以k=-

mk

m+2

=4，整理得 m=

1

2

k-2．
故直线AB的方程为y=kx+

1

2

k-2，即y=k（x+

1

2

）-2．
所以直线AB过定点（-

1

2

，-2）． …（12分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，
设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知

y0-2

x0

+

-y0-2

x0

=8，
得x0=-

1

2

．此时AB方程为x=-

1

2

，显然过点（-

1

2

，-2）．
综上，直线AB过定点（-

1

2

，-2）．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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