设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=32，短轴长为2，且m=(x1b，y1a)，n=(x2b，y2a)，若m?n=0．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）试-数学试题及答案

1、试题题目：设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆y2a2+x2b2=1(a＞b＞0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=

3

2

，短轴长为2，且

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，若

m

?

n

=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）2b=2?b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

?a=2，c=

3

所以椭圆的方程为

y2

4

+x2=1（5分）
（Ⅱ）是，证明如下：
①当直线AB的斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂
当

m

?

n

=0，得

x

21

-

y

21

4

=0?

y

21

=4

x

21

又A（x₁，y₁）在椭圆上，所以

x

21

+

4

x

21

4

=1?|x1|=

2

，|y1|=

2

所以S=

1

2

|x1||y1-y2|=

1

2

|x1|2|y1|=1（7分）
②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，则

y=kx+m

y2

4

+x2=1

，∴（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0
得到x1+x2=

-2km

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

（9分）
∵

m

?

n

=0，
∴x1x2+

y1y2

4

=0，∴x1x2+

(kx1+m)(kx2+m)

4

=0
代入整理，得2m²-k²=4，（10分）
∴S=

1

2

|m|

1+k2

|AB|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|m|

4k2-4m2+16

k2+4

=

4m2

2|m|

=1（12分）
综上所述，所以三角形的面积为定值（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆y2a2+x2b2=1(a＞b＞0..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：