已知函数f(x)=12x2+3lnx+(a-6)x在[3，+∞）上是增函数，（1）求实数a的取值范围；（2）在（1）的结论下，设g(x)=|ex-a|+12a2，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12x2+3lnx+(a-6)x在[3，+∞）上是增函数，（1）求实数a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

x2+3lnx+(a-6)x在[3，+∞）上是增函数，
（1）求实数a的取值范围；
（2）在（1）的结论下，设g(x)=|ex-a|+

1

2

a2，x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f’（x）=x+

3

x

+a-6
因为f（x）在[3，+∞）上是增函数
所以x+

3

x

+a-6≥0在[3，+∞）上恒成立
即a≥6-x-

3

x

在[3，+∞）上恒成立
构造一个新函数F（x）=6-x-

3

x

x∈[3，+∞）
∵F′(x)=-1+

3

x2

＜0
∴F（x）在[3，+∞）是减函数
所以当x=3时，函数F（x）有最大值2
所以a≥2
（2）令t=e^x，R（t）=|t-a|+

1

2

a2 t∈[1.3]
当a≥2且a≤3时，R(t)=

-t+a+

1

2

a2 (1≤t＜a)

t-a+

1

2

a2(a＜t≤3)

∴R（t）最小为R（a）=

1

2

a2
当a＞3，R（t）=-t+a+

1

2

a2
R（t）最小为R（3）=-3+a+

1

2

a2
总之，函数的最小值为：当2≤a＜3时，最小值为

1

2

a2；当a≥3时，函数的最小值为-3+a+

1

2

a2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12x2+3lnx+(a-6)x在[3，+∞）上是增函数，（1）求实数a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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