设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时，f(x)＜9xx+1成立．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时，f(x)＜

9x

x+1

成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞）
求导函数可得f′（x）=

1

x+1

+a
当a≥0时，

1

x+1

+a＞0，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；
当a＜0时，

1

x+1

+a＞0，函数在（-1，-1-

1

a

）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-

1

a

）

1

x+1

+a＜0，函数在（-1-

1

a

，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜

9x

x+1

等价于ln（x+1）+

x2-8x

x+1

＜0
令g（x）=ln（x+1）+

x2-8x

x+1

，则g′（x）=

x2+3x-7

(x+1)2

∵x∈（0，5），∴函数在（0，

-3+

37

2

）上单调递增，在（

-3+

37

2

，5）上单调递减
∴g（x）_max=ln（

-3+

37

2

+1）+

(

-3+

37

2

)2-8?

-3+

37

2

-3+

37

2

+1

＜0
∴x∈（0，5）时，f(x)＜

9x

x+1

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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