已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线．（1）求椭圆的方程；（2）过点S(0，-13)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x-y+b=0是抛物线y²=4x的一条切线．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点S(0，-

1

3

)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由

x-y+b=0

y2=4x

消去y得：x2+(2b-4)x+b2=0
因直线y=x+b与抛物线y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0∴b=1，
∵圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴a=

2

b=

2

故所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1.
（2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2
当L与x轴垂直时，以AB为直径的圆的方程：x²+y²=1
由

x2+(y+

1

3

)2=(

4

3

)2

x2+y2=1

解得

x=0

y=1

即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）
事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y=kx-

1

3

由

y=kx-

1

3

x2

2

+y2=1

消去y得：(18k2+9)x2-12kx-16=0
记点A（x₁，y₁）、B(x2，y2)，则

x1+x2=

12k

18k2+9

x1x2=

-16

18k2+9

又因为

TA

=(x1，y1-1)，

TB

=(x2，y2-1)
所以

TA

?

TB

=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=(1+k2)x1x2-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=(1+k2)?

-16

18k2+9

-

4

3

k?

12k

18k2+9

+

16

9

=0
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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