已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP?BA=0，点C满足AC=2BA，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．（1）求曲线E的方程；（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E-数学试题及答案

1、试题题目：已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP?BA=0，点C满..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且

BP

?

BA

=0，点C满足

AC

=2

BA

，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且

DM

?

DN

＞0，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：平面向量的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）
则

AC

=（x-a，y），

BA

=（a，-b），

BP

=（3，-b）
∵

BP

?

BA

=0，

AC

=2

BA

∴

3a+b2=0

x-a=2a

y=-2b

（4分）
消去a，b得y²=-4x∵a＜0∴x=3a＜0
故曲线E的方程为y²=-4x（x＜0）（6分）
（2）设直线l方程为y=k（x-1）（7分）
由

y=k(x-1)

y2=-4x

得k²x²-2（k²-2）x+k²=0（8分）
∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△＞0
即△=4（k²-2）²-4k²k²＞0∴k²＜1①（9分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则

DM

=（x₁+1，y₁）

DN

=（x₂+1，y₂）
∴

x1+x2=

2(k2-2)

k2

x1x2=1

∴

DM

?

DN

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=

8k2-4

k2

＞0
解得k²＞

1

2

②（11分）
由①②联立解得：

1

2

＜k²＜1
∴-1＜k＜-

2

或

2

＜k＜1（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP?BA=0，点C满..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。

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