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1、试题题目：在平面上，给定非零向量b，对任意向量a，定义a′=a-2(a?b)|b|2b．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-01-20 07:30:00

试题原文

在平面上，给定非零向量
b
，对任意向量
a
，定义
a′
=
a
-
2(
a
?
b
)
|
b
|2
b
．
（1）若
a
=（2，3），
b
=（-1，3），求
a′
；
（2）若
b
=（2，1），证明：若位置向量
a
的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量
a′
的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量
b
，当位置向量
a
的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量
a′
终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量
b
满足什么关系？

  试题来源：上海   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：平面向量的应用



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵
a
=（2，3），
b
=（-1，3），
∴
a
?
b
=7，
|b|
2=10，可得
2(
a
?
b
)
|
b
|2
b
=
2×7
10
（-1，3）=（-
7
5
，
21
5
）
因此
a′
=
a
-
2(
a
?
b
)
|
b
|2
b
=（2，3）-（-
7
5
，
21
5
）=（
17
5
，-
6
5
）；
（2）设
a
=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上
算出
a
?
b
=2x'+y'，
|b|
2=5，
2(
a
?
b
)
|
b
|2
b
=
2(2x′+y′)
5
（2，1）=（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
），
∴
a′
=
a
-
2(
a
?
b
)
|
b
|2
b
=（x'，y'）-（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
）=（
-3x′-4y′
5
，
-4x′+3y′
5
）
因此，若
a′
=（x，y），满足
x=
-3x′-4y′
5
y=
-4x′+3y′
5
，得到
x′=
-3x-4y
5
y′=
-4x+3y
5

∵点（
-3x-4y
5
，
-4x+3y
5
）在直线Ax+By+C=0上
∴A×
-3x-4y
5
+B×
-4x+3y
5
+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
即向量
a′
的终点也在一条直线上；
（3）∵
b
是单位向量，
∴设
a
=（x，y），
b
=（cosθ，sinθ），可得
a
?
b
=xcosθ+ysinθ，
所以
a′
=
a
-
2(
a
?
b
)
|
b
|2
b
=
a
-2（xcosθ+ysinθ）
b
=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵
a
的终点在抛物线x2=y上，且
a′
终点在抛物线y2=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
化简整理，通过比较系数可得cosθ=
2
2
，sinθ=-
2
2
或cosθ=-
2
2
，sinθ=
2
2

∴
b
=±（
2
2
，
2
2
），
∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
∴l的方向向量
d
=（1，1）．
可得
d
?
b
=0，即
d
⊥
b
，因此直线l与向量
b
垂直．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面上，给定非零向量b，对任意向量a，定义a′=a-2(a?b)|b|2b．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中平面向量的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中平面向量的应用”。


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