直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，A1A=AB=22BC．（I）证明：B1C1∥平面A1BC；（II）证明：A1C⊥平面EDB；（III）求平面A1AB与平面EDB所成的二面角的大小（仅-数学试题及答案

1、试题题目：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，E是A₁C的中点，ED⊥A₁C且交AC于D，A1A=AB=

2

BC．
（I）证明：B₁C₁∥平面A₁BC；
（II）证明：A₁C⊥平面EDB；
（III）求平面A₁AB与平面EDB所成的二面角的大小（仅考虑平面角为锐角的情况）．

试题来源：朝阳区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（I）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中B₁C₁∥BC，（1分）
又BC?平面A₁BC，且B₁C₁?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC（3分）
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中A₁A⊥AB，
∴Rt△A₁AB中AB=

2

A1B又A1A=AB=

2

BC
∴BC=A₁B，
∴△A₁BC是等腰三角形（6分）
∵E是等腰△A₁BC底边A₁C的中点，
∴A₁C⊥BE①
又依条件知A₁C⊥ED②
且ED∩BE=E③
由①，②，③得A₁C⊥平面EDB（8分）
（III）∵A₁A、ED?平面A₁AC，
且A₁A、ED不平行，
故延长A₁A，ED后必相交，
设交点为F，连接EF，如图
∴A₁-BF-E是所求的二面角（10分）
依条件易证明Rt△A₁EF≌Rt△A₁AC∵E为A₁C中点，
∴A为A₁F中点∴AF=A₁A=AB
∴∠A₁BA=∠ABF=45°
∴∠A₁FB=90°
即A₁B⊥FB（12分）
又A₁E⊥平面EFB，
∴EB⊥FB
∴∠A₁BE是所求的二面角的平面角（13分）
∵E为等腰直角三角形A₁BC底边中点，
∴∠A₁BE=45°
故所求的二面角的大小为45°（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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