如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长都为2，∠A1AC=60°（Ⅰ）求证：A1B⊥AC；（Ⅱ）当三棱柱ABC-A1B1C1的体积最大时，求平面A1B1C1与平面ABC所成的锐角的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长都为2，∠A1AC=60°（Ⅰ）求证..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有的棱长都为2，∠A₁AC=60°
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC；
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求平面A₁B₁C₁与平面ABC所成的锐角的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：取AC的中点O，连接A₁O，BO，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所有棱长都为2，∠A₁AC=60°，
则A₁O⊥AC，BO⊥AC，A₁O∩BO=O，…（2分）
所以AC⊥平面A₁BO而A₁B?平面A₁BO，
∴AC⊥A₁B．…（4分）
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，
点A₁到平面ABC的距离最大，
此时A₁O⊥平面ABC．…（6分）
设平面ABC与平面A₁B₁C的交线为l，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，AB∥平面A₁B₁C，
∴AB∥l，…（8分）
过点O作OH⊥l交于点H，连接A₁H．由OH⊥l，A₁O⊥l知l⊥平面A₁OH，
∴l⊥A₁H，故∠A₁HO为平面A₁B₁C与平面ABC所成二面角的平面角．…（10分）
在Rt△OHC中，OC=

1

2

AC=1，∠OCH=∠BAC=60°，则OH=

3

2

，
在Rt△A₁OH中，A1O=2sin60°=

3

，A1H=

15

2

，cos∠A1HO=

OH

A1H

=

5

．…（12分）
即平面A₁B₁C与平面ABC所成锐角的余弦值为

5

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长都为2，∠A1AC=60°（Ⅰ）求证..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

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