已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点．（1）设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α，二面角A-B1D1-A1的大小为β．求证：tanβ=2tanα；（2）若点C到平面AB1-数学试题及答案

1、试题题目：已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
（1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，二面角A-B₁D₁-A₁的大小为β．求证：tanβ=

2

tanα；
（2）若点C到平面AB₁D₁的距离为

4

3

，求正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意画出图形为：

魔方格

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，
∴底面为正方形且边长为1，又因为AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角的大小为α，∴∠AB1A1=α ，tanα=

AA1

A1B1

，
又因为二面角A-B₁D₁-A₁的大小为β，且底面边长为1的正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点，∴∠AO₁A₁=β，∴

2

tanβ=

AA1

A1O1

而底面A₁B₁C₁D₁为边长为1的正方形，∴A1B1=

2

A1O1，∴tanβ=

2

tanα．
（2）∵O₁为B₁D₁的中点，而△AB₁D₁是以B₁D₁为底边的等腰三角形，∴AO₁⊥B₁D₁∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁
且交线为AO₁，∴点C到平面AB₁D₁的投影点必落在A0₁上即垂足H，在矩形AA₁C₁C中，利用R_t△AA₁O₁∽R_t△CHA 得到

A1O1

AA1

=

AH

CH

，而AH=

AC2-CH2

=

2-(

4

3

)2

，∴

A1O1

AA1

=

AH

CH

?

2

AA1

=

2

3

4

3

?AA₁=2，
故正四棱锥的高为AA₁=2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：