设a为实数，函数f（x）=x3-ax2+（a2-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a为实数，函数f（x）=x3-ax2+（a2-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设a为实数，函数f（x）=x³-ax²+（a²-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函数，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f'（x）=3x²-2ax+（a²-1），其判别式△=4a²-12a²+12=12-8a²．
（ⅰ）若△=12-8a²=0，即a=±

6

2

，当x∈（-∞，

a

3

），或x∈（

a

3

，+∞）时，
f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）为增函数．
所以a=±

6

2

．
（ⅱ）若△=12-8a²＜0，恒有f'（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）为增函数，
所以a²＞

3

2

，
即a∈（-∞，-

6

2

）∪（

6

2

，+∞）
（ⅲ）若△12-8a²＞0，即-

6

2

＜a＜

6

2

，
令f'（x）=0，
解得x₁=

a-

3-2a2

3

，x₂=

a+

3-2a2

3

．
当x∈（-∞，x₁），或x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数．依题意x₁≥0且x₂≤1．
由x₁≥0得a≥

3-2a2

，解得1≤a＜

6

2

由x₂≤1得

3-2a2

≤3-a，解得-

6

2

＜a＜

6

2

，从而a∈[1，

6

2

）
综上，a的取值范围为（-∞，-

6

2

]∪[

6

2

，+∞）∪[1，

6

2

），
即a∈（-∞，-

6

2

]∪[1，∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a为实数，函数f（x）=x3-ax2+（a2-1）x在（-∞，0）和（1，+∞）都是增函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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