已知函数f(x)=Inx-ax(a∈R，a≠0)．（1）当a=-1时，讨论f（x）在定义域上的单调性；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值是32，求实数a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=Inx-ax(a∈R，a≠0)．（1）当a=-1时，讨论f（x）在定义域上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=Inx-

a

x

(a∈R，a≠0)．
（1）当a=-1时，讨论f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值是

3

2

，求实数a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-1时，f(x)=lnx+

1

x

，
∴f′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

∵x＞0，
∴f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，+∞）上递增．（6分）
（2）由已知f′(x)=

x+a

x2

，①当a≥-1时，而x≥1，
∴x+a≥a+1≥0，
∴f（x）在[1，e]上递增，于是f(x)min=f(1)=-a=

3

2

，有a=-

3

2

不成立（8分）
②当a≤-e时，而x≤e，
∴x+a≤e+a≤0，
∴f（x）在[1，e]上递减，
于是f(x)min=f(e)=1-

a

e

=

3

2

，有a=-

e

2

不成立．（10分）
③当-e＜a＜-1时，在区间[1，-a]上，a+1≤x+a≤0，则f'（x）≤0，
∴f（x）递减，
在区间（-a，e]上，0＜x+a≤a+e，则f'（x）＞0，
∴f（x）递增，
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=

3

2

，
∴a=-

e

（12分）
综上所述得：实数a=-

e

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=Inx-ax(a∈R，a≠0)．（1）当a=-1时，讨论f（x）在定义域上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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