已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax2，x∈[0，+∞），a∈R(1)当a=12时，求证：在[0，+∞)上f(x)≥0，(2)若不等式f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax2，x∈[0，+∞），a∈R(1)当a=12时，求证：..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax²，x∈[0，+∞），a∈R

(1)当a=

1

2

时，求证：在[0，+∞)上f(x)≥0，

(2)若不等式f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=

1

2

时，f（x）=ln（1+x）-x+

1

2

x²，
∴f′（x）=

1

1+x

-1+x=

x2

1+x

≥0在x∈[0，+∞）恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴当x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=0，
故当x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；
（2）∵f′（x）=

1

1+x

-1+2ax=

2ax2+(2a-1)x

1+x

，
①当

2a≥0

2a-1≥0

，即a≥

1

2

时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≥f（0）=0；
②当

2a＜0

2a-1＜0

，即a＜0时，f′（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≤f（0）=0与题意不符；
③当

2a＞0

2a-1＜0

，即0＜a＜

1

2

时，f′（x）=

2ax2+(2a-1)x

1+x

=

2ax(x-

1-2a

2a

)

1+x

，
故在[0，

1-2a

2a

）上，f′（x）≤0，
∴f（x）≤f（0）=0与题意不符，
综上可得当且仅当a≥

1

2

时，f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（1+x）-x+ax2，x∈[0，+∞），a∈R(1)当a=12时，求证：..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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