已知函数f（x）=ln（ax+1）+1-x1+x，其中a＞0．（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ln（ax+1）+1-x1+x，其中a＞0．（1）若f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ln （ax+1）+

1-x

1+x

，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=ln （ax+1）+

1-x

1+x

=ln（ax+1）+

2

1+x

-1，求导函数可得f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，∴

a

a+1

-

2

4

=0
∴a=1；
（2）设f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

＞0，有ax²＞2-a，
若a≥2，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；
若0＜a＜2，则x＞

2-a

a

，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（

2-a

a

，+∞）上递增，在（-∞，

2-a

a

）上递减，
∴f（x）在x=

2-a

a

处取得最小值f（

2-a

a

）＜f（0）=1．
综上知，若f（x）最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ln（ax+1）+1-x1+x，其中a＞0．（1）若f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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