已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，且b≠0，函数g(x)=13bx3-bx，若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，且b≠..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a=1，且b≠0，函数g(x)=

1

3

bx3-bx，若对任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

试题来源：沈阳二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=lnx-ax，
∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）
∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数
当a＞0时，∵f'（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

∵f′(x)＞0，则1-ax＞0，ax＜1，x＜

1

a

f′(x)＜0，则1-ax＜0，ax＞1，x＞

1

a

即当a＞0时f(x)在(0，

1

a

)上是增函数，在(

1

a

，+∞)上是减函数．
（2）设f（x）的值域为A，g（x）的值域为B，
则由已知，对于任意的x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），
使f（x₁）=g（x₂），得A?B
由（1）知a=1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴f（x）在x∈（1，2）上单调递减，
∴f（x）的值域为A=（ln2-2，-1）
∵g'（x）=bx²-b=b（x-1）（x+1）
∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，
此时，g（x）的值域为B=(

2

3

b，-

2

3

b)
为满足A?B，又-

2

3

b≥0＞-1
∴

2

3

b≤ln2-2.即b≤

3

2

ln2-3.
（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，
此时，g（x）的值域为B=(-

2

3

b，

2

3

b)
为满足A?B，又

2

3

b≥0＞-1.
∴-

2

3

b≤ln2-2
∴b≥-

3

2

(ln2-2)=3-

3

2

ln2，
综上可知b的取值范围是(-∞，

3

2

ln2-3]∪[3-

3

2

ln2，+∞)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，且b≠..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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