已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）k为正常数，设g（x）=f（x）+f（k-x），求函数g（x）的最小值；（3）若a＞0，b＞0证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）k为正常数，设g..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=xln x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）k为正常数，设g（x）=f（x）+f（k-x），求函数g（x）的最小值；
（3）若a＞0，b＞0证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

试题来源：孝感模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=ln x+1，f′（x）＞0，得x＞

1

e

；
f′（x）＜0，得0＜x＜

1

e

，
∴f（x）的单调递增区间是（

1

e

，+∞），单调递减区间是（0，

1

e

）．…（3分）
（2）∵g（x）=f（x）+f（k-x）=x ln x+（k-x）ln（k-x），定义域是（0，k）
∴g′（x）=ln x+1-[ln （k-x）+1]=ln

x

k-x

…（5分）
由g′（x＞0，得

k

2

＜x＜k，由g′（x＜0，得0＜x＜

k

2

，
∴函数g（x）在（0，

k

2

）上单调递减；在（

k

2

，k）上单调递增，…（7分）
故函数g（x）的最小值是：y_min=g（

k

2

）=kln

k

2

．…（8分）
（3）∵a＞0，b＞0∴在（2）中取x=

2a

a+b

，k=2，
可得f（

2a

a+b

）+f（2-

2a

a+b

）≥2ln1 f（

2a

a+b

）+f（

2b

a+b

）≥0
?

2a

a+b

ln

2a

a+b

+

2b

a+b

ln

2b

a+b

≥0
?alna+blnb+（a+b）ln2-（a+b）ln（a+b）≥0
?f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b） …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）k为正常数，设g..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：