已知f（x）=x2ln（ax）（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在x=ea处的切线斜率为3e，求a的值；（2）求f（x）在[1e，e]上的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=x2ln（ax）（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在x=ea..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f（x）=x²ln（ax）（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在x=

e

a

处的切线斜率为3e，求a的值；
（2）求f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值．

试题来源：南通模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f′（x）=2xln（ax）+x²?

a

ax

=x[2ln（ax）+1]，
∴3e=f′（

e

a

）=

e

a

[2ln（a?

e

a

）+1]，
解得a=1．
（2）由题知x＞0，f′（x）=x[2ln（ax）+1]，
令f′（x）=0，则2ln（ax）+1=0，得x=

1

a

e

，
①当a≥1时，

1

a

e

≤

1

e

．
当x∈[

1

e

，

e

]时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[

1

e

，

e

]上是增函数，
∴[f（x）]_min=f（

1

e

）=

1

e

ln

a

e

=

1

e

（lna-

1

2

）；
②当

1

e

＜a＜1时，

1

e

＜

1

a

e

＜

e

．
当x∈[

1

e

，

1

a

e

）时，f′（x）＜0；
当x∈[

1

a

e

，

e

]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[

1

e

，

1

a

e

]上是减函数，在[

1

a

e

，

e

]上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（

1

a

e

）=

1

a2e

ln

1

e

=-

1

2a 2e

；
③当0＜a≤

1

e

时，

1

a

e

≥

e

．
当x∈[

1

e

，

e

]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

e

，

e

]上是减函数，
∴[f（x）]_min=f（

e

）=elna

e

=e（lna+

1

2

）．
综上所述：当a≥1时，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值为

1

e

（lna-

1

2

）；
当

1

e

＜a＜1时，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值为-

1

2a 2e

；
当0＜a≤

1

e

时，f（x）在[

1

e

，

e

]上的最小值为e（lna+

1

2

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=x2ln（ax）（a＞0）．（1）若曲线y=f（x）在x=ea..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：