已知函数f（x）=(x-a)2lnx（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．证明：x1+x3＞2e．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=(x-a)2lnx（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

(x-a)2

lnx

（其中a为常数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，设函数f（x）的3个极值点为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃．证明：x₁+x₃＞

2

e

．

试题来源：浙江二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ） f′(x)=

x(2lnx-1)

ln2x

令f'（x）=0可得x=

e

．列表如下：

x

（0，1）

(1，

e

)

e

(

e

，+∞)

f'（x）

-

0

+

f（x）

减

极小值

增

单调减区间为（0，1），(1，

e

)；增区间为(

e

，+∞)．------------（5分）
（Ⅱ）由题，f′(x)=

(x-a)(2lnx+

a

x

-1)

ln2x

对于函数h(x)=2lnx+

a

x

-1，有h′(x)=

2x-a

x2

∴函数h（x）在(0，

a

2

)上单调递减，在(

a

2

，+∞)上单调递增
∵函数f（x）有3个极值点x₁＜x₂＜x₃，
从而hmin(x)=h(

a

2

)=2ln

a

2

+1＜0，所以a＜

2

e

，
当0＜a＜1时，h（a）=2lna＜0，h（1）=a-1＜0，
∴函数f（x）的递增区间有（x₁，a）和（x₃，+∞），递减区间有（0，x₁），（a，1），（1，x₃），
此时，函数f（x）有3个极值点，且x₂=a；
∴当0＜a＜1时，x₁，x₃是函数h(x)=2lnx+

a

x

-1的两个零点，----（9分）
即有

2ln?x1+

a

x1

-1=0

2ln?x3+

a

x3

-1=0

，消去a有2x₁lnx₁-x₁=2x₃lnx₃-x₃
令g（x）=2xlnx-x，g'（x）=2lnx+1有零点x=

1

e

，且x1＜

1

e

＜x3
∴函数g（x）=2xlnx-x在(0，

1

e

)上递减，在(

1

e

，+∞)上递增
要证明 x1+x3＞

2

e

?x3＞

2

e

-x1?g(x3)＞g(

2

e

-x1)
因为g（x₁）=g（x₃），所以即证g(x1)＞g(

2

e

-x1)?g(x1)-g(

2

e

-x1)＞0
构造函数F(x)=g(x)-g(

2

e

-x)，则F(

1

e

)=0
只需要证明x∈(0，

1

e

]单调递减即可．而F′(x)=2lnx+2ln(

2

e

-x)+2，F″(x)=

2(

2

e

-2x)

x(

2

e

-x)

＞0，所F'（x）在(0，

1

e

]上单调递增，
所以F′(x)＜F(

1

e

)=0．
∴当0＜a＜1时，x1+x3＞

2

e

．--------（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=(x-a)2lnx（其中a为常数）．（Ⅰ）当a=0时，求函数的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：