设函数f(x)=13ax3-12x2+bx+1(a，b∈R)，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．（Ⅰ）试用a表示b；（Ⅱ）当a＜12时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）证明：当a=-3时，对?x1，x2∈[1，2]-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=13ax3-12x2+bx+1(a，b∈R)，且函数f（x）在点（1，f（1））处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1(a，b∈R)，且函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）试用a表示b；
（Ⅱ）当a＜

1

2

时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）证明：当a=-3时，对?x₁，x₂∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1，
f'（x）=ax²-x+b，
∴f'（1）=a-1+b=0，
∴b=1-a．
（Ⅱ）f'（x）=ax²-x+1-a=（x-1）[ax-（1-a）]．
∵a＜

1

2

，
（1）当a=0时，f'（x）=1-x，f（x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1，+∞）；
（2）当a≠0时，f′(x)=(x-1)[ax-(1-a)]=a(x-1)[x-(

1

a

-1)]，
若0＜a＜

1

2

，则

1

a

-1＞1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＞0，
∴x＞

1

a

-1或x＜1；
由f'（x）＜0得1＜x＜

1

a

-1；
∴f（x）的递增区间为（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，递减区间为(1，

1

a

-1)．
若a＜0，则

1

a

-1＜1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＜0，
∴

1

a

-1＜x＜1．
由f'（x）＜0得x＞1或x＜

1

a

-1，
∴f（x）的递增区间为(

1

a

-1，1)，递减区间为(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
综上所述，当0＜a＜

1

2

时，f（x）的递增区间为（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，递减区间为(1，

1

a

-1)；
当a=0时，f（x）的递增区间为（-∞，1），递减区间为（1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的递增区间为(

1

a

-1，1)，递减区间为(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
（Ⅲ）当a=-3时，f(x)=-x3-

1

2

x2+4x+1，
由（Ⅱ）知，函数f（x）在x∈[1，2]为减函数，
∴x∈[1，2]，f(x)max=f(1)=

7

2

，f（x）_min=f（2）=-1，
∴对?x₁，x₂∈[1，2]，|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=

9

2

，
即|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=13ax3-12x2+bx+1(a，b∈R)，且函数f（x）在点（1，f（1））处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：