设函数f(x)=ax-ax-2lnx（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=ax-ax-2lnx（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=ax-

a

x

-2lnx
（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f（x）在x=2时有极值，
∴有f′（2）=0，…（2分）
又f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

，∴有a+

a

4

-1=0，
∴a=

4

5

…（5分）
∴有f′(x)=

4

5

+

4

5x2

-

2

x

=

2

5x2

(2x2-5x+2)，
由f′（x）=0有x1=

1

2

，x2=2，…（7分）
将x，f′（x），f（x）关系列表如下，定义域为（0，+∞）

x

0＜x＜

1

2

x=

1

2

1

2

＜x＜2

x=2

x＞2

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

递增

递减

递增

∴f（x）的递增区间为(0，

1

2

]和[2，+∞），递减区间为(

1

2

，2)…（9分）
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，则f'（x）≥0在x＞0时恒成立，…（10分）
∵f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
∴需x＞0时ax²-2x+a≥0恒成立，…（11分）
化为a≥

2x

x2+1

恒成立，
∵

2x

x2+1

=

2

x+

1

x

≤1，
∴a≥1，此为所求．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=ax-ax-2lnx（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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