已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求常数a、b的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=3x²+2ax，
因为函数f（x）=x³+ax²+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行，
所以f'（1）=3+2a=-3，
∴a=-3．
又f（1）=a+b+1=0
∴b=2．
综上：a=-3，b=2
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x²+2，f'（x）=3x²-6x．
令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．
又f（0）=2，f（3）=2
∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t³-3t²+2；
当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=-2；
当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t³-3t²+2，最小值为f（2）=-2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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