设g(x)=px-px-2f(x)，其中f（x）=lnx．（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（Ⅱ）证明：f（x）≤x-1；（Ⅲ）证明：ln222+ln332+…+lnnn2＜2n2-n-14(n+1)(n∈N*，n≥2)．-数学试题及答案

1、试题题目：设g(x)=px-px-2f(x)，其中f（x）=lnx．（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设g(x)=px-

p

x

-2f(x)，其中f（x）=lnx．
（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）证明：f（x）≤x-1；
（Ⅲ）证明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N*，n≥2)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵g(x)=px-

p

x

-2lnx（x＞0），
∴g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．（1分）
令h（x）=px²-2x+p，要使g（x）在（0，+∞）为增函数，
只需h（x）在（0，+∞）上满足：h（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0．即 p≥

2x

x2+1

在(0，+∞)上恒成立．
又∵0＜

2x

x2+1

=

2

x+

1

x

≤

2

x?

1

x

=1(x＞0)，（4分）
∴p≥1．（5分）

（Ⅱ）证明：要证lnx≤x-1，
即证lnx-x+1≤0（x＞0），
设k（x）=lnx-x+1，则k′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．（6分）
当x∈（0，1]时，k'（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，+∞）时，k'（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴k（x）_max=k（1）=0．（9分）
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知lnx≤x-1，又x＞0，
∴

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

．
∵n∈N^*，n≥2，可令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

．（12分）
∴

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)．
∴

ln2

22

+

ln3

32

++

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

22

+1-

1

32

++1-

1

n2

)=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)]
=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

[n-1-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设g(x)=px-px-2f(x)，其中f（x）=lnx．（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：