已知函数f（x）=x3-3a2x+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知a＞0，若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3a2x+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-3a²x+1
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞0，若?x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f（x）=x³-3x+1
f'（x）=3x²-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间是（-1，1）
（2）由题?x∈[1，2]，恒有x³-3a^2x+1≥0??x∈[1，2]，恒有3a2≤

x3+1

x

令h(x)=

x3+1

x

=x2+

1

x

，h′(x)=2x-

1

x2

=

2(x3-

1

2

)

x2

，
当x∈[1，2]时，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=2
故3a²≤2
又a＞0
∴0＜a≤

6

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3a2x+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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