已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若x=-13是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若x=-13是f（x）的极值点，求f（x）在[1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-

1

3

是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f^′（x）=3x²-2ax-3，
∵x=-

1

3

是f（x）的极值点，∴f′(-

1

3

)=0，即3×(-

1

3

)2-2a×(-

1

3

)-3=0，解得a=4．
经验证a=4满足题意．
∴f（x）=x³-4x²-3x，f^′（x）=3x²-8x-3，
令f^′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=-

1

3

或3．
∴当x＜-

1

3

或x＞3时，f^′（x）＞0，因此函数f（x）在区间(-∞，-

1

3

)或（3，+∞）上单调递增；
当-

1

3

＜x＜3时，f^′（x）＜0，因此函数f（x）在区间(-

1

3

，3)上单调递减．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递减，在区间[3，4]上单调递增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6．
（2）∵函数f（x）在区间[1，+∞）是增函数，
∴f^′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
则

a

3

≤1

f′(1)≥0

或△＜0，解得a≤0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-ax2-3x（1）若x=-13是f（x）的极值点，求f（x）在[1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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