已知：定义域为R的函数f(x)=ax-x3在区间(0，22)内是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）的极小值为-2，求实数a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：定义域为R的函数f(x)=ax-x3在区间(0，22)内是增函数．（1）求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知：定义域为R的函数f(x)=ax-x3在区间(0，

2

)内是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的极小值为-2，求实数a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=a-3x2，依题意x∈(0，

2

)时，f′(x)＞0，即a-3x2＞0恒成立．
∴a≥3×(

2

)2=

3

2

，所以a的范围是[

3

2

，+∞)（6分）
（2）令f′(x)=0，即a-3x2=0，得x=±

a

3

，(a≥

3

2

)．
当x变化时f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x

（-∞，-

a

3

）

-

a

3

（-

a

3

，

a

3

）

a

3

（

a

3

，∞）

f′（x）

-

0

+

0

-

f（x）

↓

极小值

↑

极大值

↓

∴x=-

a

3

时，f（x）取极小值．
故f（-

a

3

）=a?（-

a

3

）-（-

a

3

）³=-2解得：a=3．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：定义域为R的函数f(x)=ax-x3在区间(0，22)内是增函数．（1）求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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