设函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2(x∈R)．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：?n∈N*，ex-1＞xnn!．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2(x∈R)．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．

试题来源：济南一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f'（x）=0，可得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）．
（2）当x∈[-1，2]时，f(-1)=

1

e2

-

2

3

＜0，
f(2)=4(e-

5

3

)＞0，f(x)_极小值=f(1)=-

1

3

＞f(-1)，f(x)_极大值=f（0）=0．
所以f（x）在[-1，2]上的最小值为

1

e2

-

2

3

．
（3）设gn(x)=ex-1-

xn

n!

，当n=1时，只需证明g₁（x）=e^x-1-x＞0，当x∈（1，+∞）时，g₁^′（x）=e^x-1-1＞0，
所以g₁（x）=e^x-1-x在（1，+∞）上是增函数，∴g₁（x）＞g₁（1）=e⁰-1=0，即e^x-1＞x；
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即gk(x)=ex-1-

xk

k!

＞0，
当n=k+1时，
因为gk+1′(x)=ex-1-

(k+1)xk

(k+1)!

=ex-1-

xk

k!

＞0，
所以g_k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．
所以gk+1(x)＞gk+1(1)=e0-

1

(k+1)!

=1-

1

(k+1)!

＞0，
即当n=k+1时，不等式成立．
由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，?n∈N*，ex-1＞

xn

n!

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=x2ex-1-13x3-x2(x∈R)．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：