已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2+2x+a，x＜0

lnx，x＞0

，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂-x₁≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

试题来源：四川试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）函数f（x）的单调减区间（-∞，-1），函数f（x）的单调增区间[-1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x₁）f′（x₂）=-1，
当x＜0时，（2x₁+2）（2x₂+2）=-1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x₂-x₁=

1

2

[-（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x₂-x₁≥1；
（III）当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y-（x 12+2x₁+a）=（2x₁+2）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂）；
两直线重合的充要条件是

1

x2

=2x1+2 ①

lnx2-1=-

x

21

+a ②

，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜

1

x2

＜2，由①②得a=lnx₂+（

1

2x2

-1）²-1=-ln

1

x2

+

1

4

（

1

x2

-2）²-1，
令t=

1

x2

，则0＜t＜2，且a=

1

4

t²-t-lnt，设h（t）=

1

4

t²-t-lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=

1

2

t-1-

1

t

=

(t-1)2-3

2t

＜0，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=-ln2-1，∴a＞-ln2-1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（-ln2-1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：