已知函数f（x）=12x2+(34a2+12a)lnx-2ax，a∈R．（Ⅰ）当a=-12时，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若函数f（x）在导函数f′（x）的单调区间上也是单调的，求a的取值范围；（Ⅲ）当0＜a＜18时，设g（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2+(34a2+12a)lnx-2ax，a∈R．（Ⅰ）当a=-12时，求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x2+(

3

4

a2+

1

2

a)lnx-2ax，a∈R．
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在导函数f′（x）的单调区间上也是单调的，求a的取值范围；
（Ⅲ）当0＜a＜

1

8

时，设g（x）=f（x）-（

3

4

a2+

1

2

a+1）lnx-（a+

1

2

）x²+（2a+1）x，且x₁，x₂是函数g（x）的极值点，证明：g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

试题来源：铁岭模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f（x）=

1

2

x²-

1

16

lnx+x （x＞0），f′（x）=x-

1

16x

+1=0，
∴x₁=

-2+

5

4

，x₂=

-2-

5

4

（不在定义域内，舍）
∴（0，

-2+

5

4

]单调减，[

-2+

5

4

，+∞）单调增，
∴f（x）在x=

-2+

5

4

时取极小值，且是唯一极值．
（Ⅱ）f′（x）=

x2-2ax+

3

4

a2+

1

2

a

x

（x＞0）
令g（x）=x²-2ax+a²+a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，
设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）
1⁰ 当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，
∴f（x）单调递增，满足题意；
2⁰ 当△＞0时即a＜0或a＞2时，
（1）若x₁＜0＜x₂，则 a²+a＜0，
即-＜a＜0时，f（x）在（0，x₂）上减，（x₂，+∞）上增，
f′（x）=x+-2a，f''（x）=1-≥0，
∴f′（x）在（0，+∞）单调增，不合题意
（2）若x₁＜x₂＜0 则

3

4

a2+

1

2

a≥0

a＜0

，
即a≤-时f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．
（3）若0＜x₁＜x₂则

3

4

a2+

1

2

a＞0

，
即a＞2时，∴f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，
不合题意．综上得a≤-或0≤a≤2．
（Ⅲ） g（x）=-lnx-ax²+x，g′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．
令g′（x）=0，即2ax²-x+1=0，
当0＜a＜时，△=1-8a＞0，
所以，方程2ax²-x+1=0的两个不相等的正根x₁，x₂，设x₁＜x₂，
则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，g′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，g′（x）＞0，
所以g（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．
g（x₁）+g（x₂）=-lnx₁-ax+x₁-lnx₂-ax+x₂=-（lnx₁+lnx₂）-（x₁-1）-（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+（x₁+x₂）+1
=ln（2a）+…+1．
令h（a）=ln（2a）++1，a∈（0，]，
则当a∈（0，）时，h′（a）=-=＜0，h（a）在（0，）单调递减，
所以h（a）＞h（

1

8

）=3-2ln2，
即g（x₁）+g（x₂）＞3-2ln2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2+(34a2+12a)lnx-2ax，a∈R．（Ⅰ）当a=-12时，求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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