已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）的极值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的切线方程及f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的极值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-1时，f(x)=x2+lnx，f′(x)=2x+

1

x

，（1分）
∴f'（1）=3．
函数f（x）在点x=1处的切线方程为y-1=3（x-1），即y=3x-2（3分）
当x＞0时，f′(x)=2x+

1

x

＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（x）的定义域为（0，+∞），则函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），不存在递减区间．（5分）
（2）函数f（x）=x²-alnx（a∈R）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x-

a

x

，（6分）
①当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；函数f（x）无极值（8分）
②当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞

2a

2

，（9分）
由f'（x）＜0，得0＜x＜

2a

2

，（10分）
∴当x=

2a

2

时，f（x）有极小值f(

2a

2

)=

1

2

a(1-lna+ln2)（11分）
综上，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）有极小值

1

2

a(1-lna+ln2)，无极大值（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-alnx（a∈R）．（1）当a=-1时，求函数f（x）在点x=1处的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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