已知函数f（x）=x-ln（x+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：e1+12+13+14+…+1n＞n+1，（n∈N*）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x-ln（x+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：e1+12+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x-ln（x+1）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）求证：e1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＞n+1，（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

，（x＞-1）．
令f′（x）＞0，解得x＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；f′（x）＜0，解得-1＜x＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，即最小值f（0）=0；
（2）由（1）可知：x＞0时，f（x）＞0，即x-ln（x+1）＞0，即ln（x+1）＜x．
令x=

1

n

，得ln

n+1

n

＜

1

n

．
∴ln2+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴ln(2×

3

2

×…

n+1

n

)=ln（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴n+1＜e1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x-ln（x+1）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）求证：e1+12+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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