设函数f（x）=x2-2x+alnx．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的极值点．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2-2x+alnx．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²-2x+alnx．
（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）的极值点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，
若函数f（x）是定义域上的单调函数，则只能f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2x²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立恒成立，
令g（x）=2x²-2x+a，则函数g（x）图象的对称轴方程是x=

1

2

，
故只要△=4-8a≤0恒成立，即只要a≥

1

2

．
（2）有（1）知当a≥

1

2

时，f′（x）=0的点是导数不变号的点，
故a≥

1

2

时，函数无极值点；
当a＜

1

2

时，f'（x）=0的根是x1=

1-

1-2a

2

，x2=

1+

1-2a

2

，
若a≤0，

1-2a

≥1，此时x₁≤0，x₂＞0，且在（0，x₂）上f′（x）＜0，
在（x₂，+∞）上f'（x）＞0，故函数f（x）有唯一的极小值点x2=

1+

1-2a

2

；
当0＜a＜

1

2

时，0＜

1-2a

＜1，
此时x₁＞0，x₂＞0，f′（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）都大于0，f′（x）在（x₁，x₂）上小于0，
此时f（x）有一个极大值点x1=

1-

1-2a

2

和一个极小值点x2=

1+

1-2a

2

．
综上可知，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上有唯一的极小值点x2=

1+

1-2a

2

；
0＜a＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x1=

1-

1-2a

2

和一个极小值点x2=

1+

1-2a

2

；
a≥

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上无极值点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2-2x+alnx．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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