已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数g(x)=2x+f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+2alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数g(x)=

2

x

+f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．

试题来源：石景山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=2x+

2a

x

=

2x2+2a

x

…（1分）
由已知f'（2）=1，解得a=-3．…（3分）
（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）； …（5分）
（2）当a＜0时f′(x)=

2(x+

-a

)(x-

-a

)

x

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x

(0，

-a

)

-a

(

-a

，+∞)

f'（x）

-

0

+

f（x）

极小值

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是(0，

-a

)；
单调递增区间是(

-a

，+∞)．…（8分）
（III）由g(x)=

2

x

+x2+2alnx得g′(x)=-

2

x2

+2x+

2a

x

，…（9分）
由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-

2

x2

+2x+

2a

x

≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤

1

x

-x2在[1，2]上恒成立．…（11分）
令h(x)=

1

x

-x2，在[1，2]上h′(x)=-

1

x2

-2x=-(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]为减函数.h(x) min=h(2)=-

7

2

，
所以a≤-

7

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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